Volum av sfære

Eksempel

Finn volumet av sfæren \(B\) med radius \(R\), altså området i \(\mathbb{R}^3\) gitt ved ulikheten \(x^2+y^2+z^2 \leq R^2\), ved hjelp av kulekoordinater.

Løsning

I kulekoordinater svarer \(B\) til området \(A\) beskrevet av ulikhetene \(0 \leq \rho \leq R\), \(0 \leq \phi \leq \pi\), \(0 \leq \theta \leq 2 \pi\). Ved å bytte til kulekoordinater får vi

\[ \begin{align} \mathrm{vol}(B) & = \iiint_{B} dV \\ & = \iiint_{A} \rho^2 \sin \phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta \\ & = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \rho^2 \sin \phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta \\ & = \frac{1}{3} R^3 \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \sin \phi \,d\phi\,d\theta \\ & = \frac{2}{3} R^3 \int_{0}^{2\pi}d\theta \\ & = \frac{4 \pi}{3} R^3. \end{align} \]