Trippelintegraler i sylinderkoordinater
Dersom området vi skal integrere over er symmetrisk om \(z\)-aksen, kan det være hensiktsmessig å gjøre et variabelskifte fra kartesiske koordinater til sylinderkoordinater. Vi husker at et punkt \((x,y,z)\) i rommet kan angis i sylinderkoordinater \([r,\theta, z],\) der
\[ \begin{align} x&=r \cos \theta \\ y&=r \sin \theta \\ z&=z . \end{align} \]
Denne koordinattransformasjonen har Jacobi-determinant
\[\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta, z)} = \left| \begin{matrix} \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right| = r,\]
og det følger at volumelementet i sylinderkoordinater er gitt ved
\[dV = r \, dr \, d\theta \, dz .\]
Dette kan vi også observere om vi ser på volumet av "boksen" i rommet avgrenset av \(r,\) \(r+dr,\) \(\theta,\) \(\theta + d\theta\) og \(z,\) \(z+dz.\)
Hvis transformasjonen fra sylinderkoordinater til kartesiske koordinater avbilder mengden \(S\) på mengden \(D\), og \(f\) er en integrerbar funksjon på \(D\), har vi følgelig
\[\iiint_D f(x,y,z) \, dV = \iiint_S f(r\cos \theta, r\sin \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz .\]