Trippelintegral i sylinderkoordinater
Eksempel
Finn volumet av legemet avgrenset av \(xy\)-planet nedenfra, paraboloiden \(z=1-x^2-y^2\) ovenfra, og der \(-x \leq y \leq \sqrt{3}x .\)
Løsning
Vi tegner først en hjelpeskisse:
Da projeksjonen av paraboloiden ned i \(xy\)-planet er en sirkelsektor med radius \(1,\) er det fristende å gjøre et variabelskifte fra kartesiske koordinater til sylinderkoordinater. Vi får da grensene \(0\leq r \leq 1\) og
\[0\leq z \leq 1-x^2-y^2 = 1-r^2 .\]
Fra ulikhetene \(-x\leq y \leq \sqrt{3}x\) følger det at
\[-1 \leq \frac{y}{x} = \tan \theta \leq \sqrt{3},\]
som gir
\[-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}.\]
Vi får dermed
\[ \begin{align} V &= \int_0^1 \int_0^{1-r^2} \int_{-\pi/4}^{\pi/3} r \, d\theta \, dz \, dr \\ &= \frac{7\pi}{12} \int_0^1 r(1-r^2) \, dr = \frac{7\pi}{48}. \end{align} \]