Variabelskifte til forskjøvede sylinderkoordinater

Eksempel

Finn volumet av området $T$ avgrenset av paraboloiden $z-x^2-y^2=-1$ og planet $x+y+2z=4.$

Løsning

Vi skisserer først en figur av området vi ønsker å finne volumet av.

Vi ser da at

$-1+x^2+y^2 \leq z \leq \frac{1}{2}(4-x-y)$

i det aktuelle området. Integrasjonsgrensene for $x$ og $y$ er gitt av projeksjonen av legemet $T$ ned i $xy$ -planet. Denne finner vi ved å se på skjæringskurven mellom de to flatene $z=-1+x^2+y^2$ og $z=(4-x-y)/2$ , gitt ved

$-1+x^2+y^2 = \frac{1}{2}(4-x-y),$

eller

$x^2+y^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y = 4 .$

Fullfører vi kvadratet på venstre side i ligningen finner vi

$\left(x+\frac{1}{4} \right)^2 + \left( y+\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{25}{8} = \left( \frac{5}{2\sqrt{2}}\right)^2.$

I $xy$ -planet skal vi altså integrere over en sirkel med sentrum i $(-1/4, -1/4)$ og radius $5/2\sqrt{2}.$

Vi gjør nå variabelskiftet

$\begin{align} x &= r\cos \theta - \frac{1}{4} ,\\ y &= r\sin \theta - \frac{1}{4} ,\\ z &=z . \end{align}$

Dette kan vi tenke på som forskjøvede sylinderkoordinater. Jacobideterminanten blir

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r, \theta,z)} = \left| \begin{matrix} \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right| = r,$

og integrasjonsgrensene blir $0 \leq r \leq 5/2\sqrt{2},$ $0 \leq \theta < 2\pi,$ og $z_1 \leq z \leq z_2,$ der

$\begin{align} z_1 &= -1+x^2+y^2 \\ &= -\frac{7}{8}+r^2-\frac{r}{2}(\cos \theta+\sin \theta), \end{align}$

$\begin{align} z_2 &= \frac{1}{2}(4-x-y) \\ &=\frac{9}{4} - \frac{r}{2}(\cos \theta + \sin \theta). \end{align}$

Vi får dermed

$\begin{align} V &= \iiint_T \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{5/2\sqrt{2}} \int_{z_1}^{z_2} r \, dz \, dr \, d\theta \\ &=2\pi \int_0^{5/2\sqrt{2}} (z_2-z_1) r \, dr \\ &=2\pi \int_0^{5/2\sqrt{2}} \left( \frac{25}{8}-r^2\right)r \, dr \\ &= 2\pi \left[ \frac{25}{16}r^2-\frac{1}{4}r^4\right]_0^{5/2\sqrt{2}} = \frac{625 \pi}{128}. \end{align}$