Variabelskifte i trippelintegraler

Teoremet om variabelskifte i dobbeltintegraler, som vi etablerte her, har en naturlig utvidelse til trippelintegraler. Anta at vi har en koordinattransformasjon

fra en mengde \(S\) i \(uvw\)-rommet til en mengde \(D\) i \(xyz\)-rommet. Vi definerer Jacobi-determinanten til denne transformasjonen som

\[J(u,v,w)=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} = \left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{matrix} \right| .\]

Såfremt den er ulik null, er Jacobi-determinanten skaleringsfaktoren mellom volumelementet i \(xyz\)-rommet og volumelementet i \(uvw\)-rommet. Vi har

\[dV = dx \, dy \, dz = |J(u,v,w)| \, du \, dv \, dw .\]