Areal av sfære

Eksempel

Finn arealet av sfæren med radius \(R\), altså flaten i \(\mathbb{R}^3\) gitt ved \(x^2+y^2+z^2 =R^2\).

Løsning

Vi kan bruke kulekoordinater til å parametrisere sfæren: la

\[ \mathbf{r}(\phi,\theta) = (R \sin \phi \cos \theta, R \sin \phi \sin \theta, R \cos \phi)\]

for \(0 \leq \phi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\).

Vi har da

\[ \begin{align} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} & = (R \cos \phi \cos \theta, R \cos \phi \sin \theta, - R \sin \phi),\\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} & = (- R \sin \phi \sin \theta, R \sin \phi \cos \theta, 0), \end{align} \]

\[ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ R \cos \phi \cos \theta & R \cos \phi \sin \theta & - R \sin \phi \\ - R \sin \phi \sin \theta & R \sin \phi \cos \theta & 0 \end{matrix}\right| = (R^2 \sin^2 \phi \cos \theta, R^2 \sin^2 \phi \sin \theta, R^2 \cos \phi \sin \phi), \]

\[ \begin{align} \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\right| & = R^2 \sqrt{\sin^4 \phi \cos^2 \theta + \sin^4 \phi \sin^2 \theta + \cos^2 \phi \sin^2 \phi} \\ & = R^2 \sqrt{\sin^4 \phi + \cos^2 \phi \sin^2 \phi} \\ & = R^2 \sin \phi \sqrt{\sin^2 \phi + \cos^2 \phi} \\ & = R^2 \sin \phi. \end{align} \]

Dermed er arealelementet \(dS = R^2 \sin \phi\,d\phi\,d\theta\), og arealet av sfæren er gitt ved

\[ \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} R^2 \sin \phi \,d\phi\,d\theta = R^2 \int_0^{2\pi} \left[-\cos \phi\right]_{\phi=0}^{\phi=\pi} d \theta = 4 \pi R^2.\]