Konservative vektorfelt

Vi husker fra teorien om flervariabelfunksjoner at gradienten til et skalarfelt \(\phi\) i \(\mathbb{R}^3\) er definert som

\[\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}\right) .\]

Vi kan altså tenke på \(\nabla \phi\) som et vektorfelt, og i lys av dette stille spørsmålet: Gitt et vilkårlig vektorfelt \(\mathbf{F}\), finnes det en skalarfunksjon \(\phi\) slik at \(F=\nabla \phi\)? Hvis svaret er ja, sier vi at feltet \(F\) er konservativt.

Dersom \(\mathbf{F}\) er et konservativt vektorfelt i \(\mathbb{R}^3\) gitt ved

\[F(x,y,z) = \left(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) \right),\]

så vil skalarfunksjonene \(P\), \(Q\) og \(R\) nødvendigvis oppfylle ligningene

\[\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y} .\]