Potensialfunksjon for et konservativt vektorfelt
Eksempel
Vi vil finne en potensialfunksjon for det konservative vektorfeltet
\[\mathbf{F}(x,y,z) = \left( \frac{2x}{z}, \frac{2y}{z}, -\frac{x^2+y^2}{z^2}\right).\]
Løsning
Dersom \(\phi\) er en potensialfunksjon for vektorfeltet \(\mathbf{F}\), så vil \(\phi\) oppfylle
\[F(x,y,z) = \nabla \phi (x,y,z),\]
eller
\[ \begin{align} \frac{\partial \phi}{\partial x} &= \frac{2x}{z} , \\ \frac{\partial \phi}{\partial y} &= \frac{2y}{z} , \\ \frac{\partial \phi}{\partial z} &= -\frac{x^2+y^2}{z} . \end{align} \]
Dersom vi løser disse tre differensialligningene, ser vi at \(\phi\) må oppfylle
\[ \begin{align} \phi (x,y,z) &= \frac{x^2}{z} + g_1(y,z), \\ \phi (x,y,z) &= \frac{y^2}{z} + g_2(x,z), \\ \phi (x,y,z) &= \frac{x^2+y^2}{z} + g_3(x,y) , \end{align} \]
der \(g_1\), \(g_2\) og \(g_3\) er skalarfunksjoner. Én mulig funksjon \(\phi\) som oppfyller disse tre ligningene er
\[\phi(x,y,z) = \frac{x^2+y^2}{z}.\]
Merk at her er
\[g_1(y,z)=\frac{y^2}{z}, \quad g_2(x,z)=\frac{x^2}{z}, \quad g_3(x,y)=0 .\]
Vi kunne også valgt
\[\phi(x,y,z) = \frac{x^2+y^2}{z} + C\]
for en vilkårlig konstant \(C \in \mathbb{R}.\)