Massesenter for en streng
Eksempel
Vi vil finne massesenteret til en streng som følger kurven \(\mathcal{C}\) gitt ved parametriseringen
\[\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t), \quad 0 \leq t \leq 2\pi ,\]
og hvis massetetthet (per lengdeenhet) er gitt ved \(\delta (x,y,z) = z.\)
Løsning
Legg merke til at \(\mathcal{C}\) er en heliks med radius \(1\) som begynner i \((1,0,0)\) og slutter i \((1,0,2\pi).\) Vi har at
\[\mathbf{r}'(t)=(-\sin t, \cos t, 1),\]
og dermed er
\[|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2}.\]
Den totale massen av strengen blir derfor
\[ \begin{align} m&= \int_{\mathcal C} \delta (x,y,z) \, ds \\ &= \int_0^{2\pi} \delta (\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)| \, dt \\ &= \int_0^{2\pi} \sqrt{2}t \, dt = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi)^2 = 2\sqrt{2}\pi^2. \end{align} \]
La oss nå først finne massesenterets \(x\)-koordinat. Vi husker at
\[\overline{x} = \frac{1}{m} \int_{\mathcal{C}} x \, dm = \frac{1}{m} \int_0^{2\pi} \sqrt{2}t \cos t \, dt .\]
Videre har vi at
\[\int_0^{2\pi} t \cos t \, dt = \left[ t \sin t \right]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} \sin t \, dt = 0,\]
og dermed er \(\overline{x}=0.\) For \(y\)-koordinatet må vi bestemme integralet
\[\overline{y} = \frac{1}{m} \int_{\mathcal{C}} y \, dm = \frac{1}{m} \int_0^{2\pi} \sqrt{2}t \sin t \, dt .\]
Vi har at
\[\int_0^{2\pi} t \sin t \, dt = \left[ - t \cos t \right]_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi} \cos t \, dt = -2\pi,\]
og dermed er
\[\overline{y} = \frac{\sqrt{2}}{m} \cdot (-2\pi) = -\frac{1}{\pi}.\]
Til slutt finner vi
\[ \begin{align} \overline{z} &= \frac{1}{m} \int_{\mathcal{C}} z \, dm = \frac{1}{m} \int_0^{2\pi} \sqrt{2}t^2 \, dt \\ &= \frac{\sqrt{2}}{3m} (2\pi)^3 = \frac{4\pi}{3}. \end{align} \]
Altså er strengens massesenter
\[\left(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z} \right) = \left( 0, -\frac{1}{\pi}, \frac{4\pi}{3}\right).\]
Legg merke til at dette punktet ikke ligger på selve strengen.