Utregning av linjeintegral

Eksempel

La $\mathbf{F}$ være vektorfeltet på $\mathbb{R}^2$ gitt ved $\mathbf{F}(x,y) = (P(x,y),Q(x,y))= (ax+by,cx+dy)$ for konstanter $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ . Finn $\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ der $\mathcal{C}$ er randen av området avgrenset av kurvene $y = x$ og $y = x^4$ , orientert mot klokken. For hvilke verdier av $a,b,c,d$ er dette vektorfeltet konservativt?

Løsning

Skjæringspunktene mellom de to kurvene er $(0,0)$ og $(1,1)$ , som vi ser ved å løse ligningen $x = x^4$ . Kurven $\mathcal{C}$ består dermed av kurvene $y = x$ og $y = x^4$ der $0 \leq x \leq 1$ . Siden $x^4 \leq x$ når $0 \leq x \leq 1$ er $\mathcal{C}$ orientert slik at vi beveger oss langs $y = x^4$ fra $x = 0$ til $x = 1$ og deretter langs $y = x$ fra $x = 1$ til $x = 0$ .

Vi deler opp kurven i to deler som svarer til de to gitte kurvene, og parametriserer disse i følge denne orienteringen som

$\mathbf{r}_1(t) = (t, t^4), \quad 0 \leq t \leq 1,$

$\mathbf{r}_2(t) = (1-t,1-t), \quad 0 \leq t \leq 1.$

Da har vi $\mathbf{r}_1'(t) = (1, 4t^3)$ og $\mathbf{r}_2'(t) = (-1,-1)$ , slik at linjeintegralet av et vektorfelt $\mathbf{F} = (P,Q)$ langs $\mathcal{C}$ er

$\begin{align} \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} & = \int_{0}^{1} (P(\mathbf{r}_1(t)),Q(\mathbf{r}_1(t))) \cdot (1,4t^3)\, dt + \int_{0}^{1} (P(\mathbf{r}_2(t)),Q(\mathbf{r}_2(t))) \cdot (-1,-1) \, dt \\ & = \int_{0}^{1}( P(t,t^4) + 4t^3 Q(t,t^4)) \, dt - \int_{0}^{1} (P(1-t,1-t) + Q(1-t,1-t))\,dt. \end{align}$

Setter vi inn $(P,Q) = (ax+by,cx+dy)$ får vi da

$\begin{align} \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} & = \int_{0}^{1}( at + bt^4 + 4t^3(ct+dt^4)) \, dt - \int_{0}^{1} (a(1-t)+b(1-t) + c(1-t)+d(1-t))\,dt \\ & = \int_{0}^{1}( at + (b+4c)t^4 + 4dt^7) \, dt - \int_{0}^{1} (a+b+c+d)(1-t) \,dt \\ & = \left[ \frac{1}{2}a t^2+ \frac{1}{5} (b+4c) t^5 + \frac{4}{8} d t^8\right]_{t=0}^{t=1} - (a+b+c+d)\left[ t-\frac{1}{2}t^2\right]_{t=0}^{t=1} \\ & = \frac{1}{2}a + \frac{1}{5}b + \frac{4}{5}c + \frac{1}{2} d - \frac{1}{2}(a+b+c+d) \\ & = \frac{3}{10} (c-b) \end{align}$

Siden linjeintegralet av et konservativt vektorfelt rundt en lukket kurve alltid gir $0$ , ser vi at $\mathbf{F}$ ikke er konservativt hvis $c \neq b$ . Hvis vi derimot har $c = b$ , slik at $\mathbf{F}(x,y) = (ax+by,bx+dy)$ , så er $\mathbf{F} = \nabla \phi$ hvis vi setter $\phi(x,y) = \frac{1}{2}ax^2 + bxy + \frac{1}{2}d y^2$ . Altså er $\mathbf{F}$ konservativt hvis og bare hvis $c = b$ .