Utregning av linjeintegral
Eksempel
La \(\mathbf{F}\) være vektorfeltet på \(\mathbb{R}^2\) gitt ved \(\mathbf{F}(x,y) = (P(x,y),Q(x,y))= (ax+by,cx+dy)\) for konstanter \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\). Finn \(\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) der \(\mathcal{C}\) er randen av området avgrenset av kurvene \(y = x\) og \(y = x^4\), orientert mot klokken. For hvilke verdier av \(a,b,c,d\) er dette vektorfeltet konservativt?
Løsning
Skjæringspunktene mellom de to kurvene er \((0,0)\) og \((1,1)\), som vi ser ved å løse ligningen \(x = x^4\). Kurven \(\mathcal{C}\) består dermed av kurvene \(y = x\) og \(y = x^4\) der \(0 \leq x \leq 1\). Siden \( x^4 \leq x\) når \(0 \leq x \leq 1\) er \(\mathcal{C}\) orientert slik at vi beveger oss langs \(y = x^4\) fra \(x = 0\) til \(x = 1\) og deretter langs \(y = x\) fra \(x = 1\) til \(x = 0\).
Vi deler opp kurven i to deler som svarer til de to gitte kurvene, og parametriserer disse i følge denne orienteringen som
\[ \mathbf{r}_1(t) = (t, t^4), \quad 0 \leq t \leq 1, \]
\[\mathbf{r}_2(t) = (1-t,1-t), \quad 0 \leq t \leq 1.\]
Da har vi \(\mathbf{r}_1'(t) = (1, 4t^3)\) og \(\mathbf{r}_2'(t) = (-1,-1)\), slik at linjeintegralet av et vektorfelt \(\mathbf{F} = (P,Q)\) langs \(\mathcal{C}\) er
\[ \begin{align} \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} & = \int_{0}^{1} (P(\mathbf{r}_1(t)),Q(\mathbf{r}_1(t))) \cdot (1,4t^3)\, dt + \int_{0}^{1} (P(\mathbf{r}_2(t)),Q(\mathbf{r}_2(t))) \cdot (-1,-1) \, dt \\ & = \int_{0}^{1}( P(t,t^4) + 4t^3 Q(t,t^4)) \, dt - \int_{0}^{1} (P(1-t,1-t) + Q(1-t,1-t))\,dt. \end{align} \]
Setter vi inn \((P,Q) = (ax+by,cx+dy)\) får vi da
\[ \begin{align} \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} & = \int_{0}^{1}( at + bt^4 + 4t^3(ct+dt^4)) \, dt - \int_{0}^{1} (a(1-t)+b(1-t) + c(1-t)+d(1-t))\,dt \\ & = \int_{0}^{1}( at + (b+4c)t^4 + 4dt^7) \, dt - \int_{0}^{1} (a+b+c+d)(1-t) \,dt \\ & = \left[ \frac{1}{2}a t^2+ \frac{1}{5} (b+4c) t^5 + \frac{4}{8} d t^8\right]_{t=0}^{t=1} - (a+b+c+d)\left[ t-\frac{1}{2}t^2\right]_{t=0}^{t=1} \\ & = \frac{1}{2}a + \frac{1}{5}b + \frac{4}{5}c + \frac{1}{2} d - \frac{1}{2}(a+b+c+d) \\ & = \frac{3}{10} (c-b) \end{align} \]
Siden linjeintegralet av et konservativt vektorfelt rundt en lukket kurve alltid gir \(0\), ser vi at \(\mathbf{F}\) ikke er konservativt hvis \(c \neq b\). Hvis vi derimot har \(c = b\), slik at \(\mathbf{F}(x,y) = (ax+by,bx+dy)\), så er \(\mathbf{F} = \nabla \phi\) hvis vi setter \(\phi(x,y) = \frac{1}{2}ax^2 + bxy + \frac{1}{2}d y^2\). Altså er \(\mathbf{F}\) konservativt hvis og bare hvis \(c = b\).