Utregning av flateintegral
Eksempel
La \(\mathcal{S}\) være den delen av paraboloiden \(z = x^2 + y^2\) der \(0 \leq z \leq \rho^2 \) for en konstant \(\rho > 0\), orientert slik at enhetsnormalen har positiv \(z\)-koordinat. Finn \(\iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) der \(\mathbf{F}\) er vektorfeltet \((x,y,x^2+y^2)\).
Løsning
La \(f(x,y) = x^2 + y^2\). Da er \(\mathcal{S}\) grafen til \(f\) på området \(R \subseteq \mathbb{R}^2\) gitt ved \(x^2 + y^2 \leq \rho^2\) og vi kan parametrisere \(\mathcal{S}\) ved \(\mathbf{r}(x,y) = (x,y,f(x,y))\). Da har vi
\[ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \left(- \frac{\partial f}{\partial x}, - \frac{\partial f}{\partial y}, 1\right) = (-2x,-2y,1).\]
Her er \(z\)-koordinaten positiv, så denne normalen peker i riktig retning. Vi får da
\[ \begin{align} \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} & = \iint_{R} \mathbf{F} \cdot (-2x,-2y,1) \, dx\,dy \\ &= - \iint_{R} (x^2 + y^2)\, dx\,dy. \end{align} \]
For å regne ut dette dobbeltintegralet kan vi bruke polarkoordinater. Da svarer \(R\) til området beskrevet ved \(0 \leq r \leq \rho\) og \(0 \leq \theta \leq 2 \pi\), slik at vi får (husk at \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\))
\[ \begin{align} \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} & = - \iint_{R} (x^2 + y^2)\, dx\,dy \\ & = - \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\rho} r^2 \cdot r\,dr\,d\theta \\ & = - 2 \pi \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]_{r = 0}^{r = \rho} \\ & = - \frac{1}{2} \pi \rho^4. \end{align} \]