Strømningslinjer for et vektorfelt
Eksempel
Finn et uttrykk for strømningslinjene til vektorfeltet
\[\mathbf{F}(x,y) = (-y,x) .\]
Løsning
La \(\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t))\) være en parametrisering av strømningslinjene til feltet \(\mathbf{F}(x,y)\). Parametriseringen må da oppfylle
\[ \begin{align} \mathbf{r}'(t) &= \left( x'(t),y'(t) \right) \\ &= \lambda (t) \mathbf{F}\left( x(t), y(t)\right) \\ &= \lambda (t) \left(-y(t), x(t) \right), \end{align} \]
der \(\lambda (t)\) er en skalarfunksjon. Vi må altså finne \(x(t)\) og \(y(t)\) som oppfyller ligningene
\[\frac{dx}{dt}=-\lambda y , \quad \frac{dy}{dt} = \lambda x .\]
Ved å tenke på \(dx\), \(dy\) og \(dt\) som inkrementell endring i \(x\), \(y\) og \(t\), få vi at
\[-\frac{dx}{y} = \lambda dt = \frac{dy}{x},\]
og dermed er
\[-x \, dx = y \, dy .\]
Om vi integrerer begge sider av ligningen over, får vi
\[-\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}y^2 + C,\]
for en konstant \(C\). Altså oppfyller \(x(t)\) og \(y(t)\) ligningen for en sirkel
\[x^2+y^2 = 2C .\]
Figuren nedenfor viser vektorfeltet \(\mathbf{F}(x,y)\), samt strømningslinjer for ulike verdier av konstanten \(C.\)
