Buelengde

La \(\mathcal{C}\) være en glatt kurve i planet parametrisert ved

\[\mathbf{r}(t) = \left( x(t), y(t)\right), \quad a\leq t\leq b .\]

Om vi ønsker å finne lengden \(s\) av denne kurven kan vi først finne en tilnærming ved å dele \(\mathcal{C}\) inn i \(n\) deler, og approksimere hver del med en rett linje.

La \(\mathbf{r}_i=\mathbf{r}(t_i)\), \(0 \leq i \leq n\) være endepunktene i denne oppdelingen. En tilnærming til \(s\) er gitt ved

\[s_n = \sum_{i=1}^n |\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_{i-1}| = \sum_{i=1}^n \left| \frac{\Delta \mathbf{r}_i}{\Delta t_i}\right| \Delta t_i ,\]

der \(\Delta \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_{i-1}\) og \(\Delta t_i = t_i - t_{i-1}.\) Dette er en Riemann-sum. Om vi lar \(n\to \infty\), finner vi at

\[s = \int_a^b \left| \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right| \: dt = \int_a^b \sqrt{\big( x'(t)\big)^2 + \big( y'(t)\big)^2} \: dt .\]

Tilsvarende resultat gjelder for kurver i rommet.