Buelengdeparametrisering

En og samme kurve kan parametriseres på uendelig mange måter. Det er imidlertid én parametrisering som er spesielt naturlig rent geometrisk. Denne kalles buelengdeparametriseringen, og angir et punkt \(P=\mathbf{r}(s)\) på kurven som funksjon av buelengden \(s\) fra et initialpunkt \(P_0=\mathbf{r}(0)\).

Vi husker fra kapittelet Buelengde at for en kurve parametrisert ved \(\mathbf{r}(t)\) er buelengden fra et initialpunkt \(P_0=\mathbf{r}(t_0)\) til et vilkårlig punkt \(P=\mathbf{r}(t)\) på kurven gitt ved

\[s = \int_{t_0}^t \left| \frac{d\mathbf{r}}{d\tau}\right|\, d\tau .\]

For buelengdeparametriseringen har vi dermed at

\[s= \int_0^s \left| \frac{d\mathbf{r}}{d\tau}\right|\, d\tau ,\]

for alle \(s\geq 0\), og det følger at \(|\mathbf{r}'(s)|\) er konstant lik

\[|\mathbf{r}'(s)| = \left| \frac{d\mathbf{r}}{ds}\right| = 1 .\]

Reparametrisering

Gitt en kurve \(\mathcal{C}\) parametrisert ved \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\) kan det være vanskelig (eller umulig) å finne et eksplisitt uttrykk for buelengdeparametriseringen. Noen ganger lar det seg imidlertid gjøre. Dersom buelengdeintegralet

\[s=s(t) = \int_{t_0}^t \left| \frac{d}{d\tau} \mathbf{r}(\tau)\right| \, d\tau \]

kan løses analytisk, og hvis \(t\) kan uttrykkes eksplisitt som en funksjon \(t(s)\) av \(s\), så er buelengdeparametriseringen av \(\mathcal{C}\) gitt ved

\[\mathbf{r} = \mathbf{r}(t(s)).\]