Reparametrisering

La oss finne buelengdeparametriseringen av kurven \(\mathcal{C}\) gitt ved

\[\mathbf{r}(t) = \left( 2\sin t, 2\cos t, 1\right), \quad t \in [0,2\pi] .\]

Vi finner først et uttrykk for buelengden av \(\mathcal{C}\) fra \(\mathbf{r}(0)\) til \(\mathbf{r}(t).\) Her er

\[\mathbf{r}'(t) = \left(2\cos t, -2\sin t, 0\right) .\]

Dermed er

\[|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{4\cos^2t+4\sin^2t} = 2 ,\]

og vi får

\[s(t) = \int_0^t |\mathbf{r}'(\tau)| \, d\tau = \int_0^t 2 \, d\tau = 2t.\]

Om vi nå løser denne ligningen for \(t\) finner vi at \(t=t(s) = s/2\), og buelengdeparametriseringen er dermed gitt ved

\[\mathbf{r}(t(s)) = \left( 2 \sin \frac{s}{2}, 2\cos \frac{s}{2}, 1 \right), \quad s \in [0, 4\pi] .\]

Legg merke til at \(\mathcal{C}\) er en sirkel med radius \(2\) i planet \(z=1.\) Lengden av hele \(\mathcal{C}\) må derfor være \(4\pi\), og dette stemmer overens med intervallet for buelengdeparameteren \(s.\)