Hastighet, fart og akselerasjon

La oss nå tenke på funksjonen \(\mathbf{r}(t)\) som posisjonen til en partikkel i rommet ved tid \(t.\) Partikkelen følger da kurven parametrisert ved \(\mathbf{r}(t)\) i en bestemt retning. Gitt denne tolkningen av \(\mathbf{r}\), så er partikkelens hastighet ved tid \(t\) gitt ved den deriverte \(\mathbf{r}'(t)\). Vi skriver

\[\mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \mathbf{r}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t} .\]

Vektoren \(\mathbf{v}(t)\) er tangensiell til partikkelbanen (kurven) i punktet \(\mathbf{r}(t)\), og lengden av hastighetsvektoren angir farten til partikkelen i punktet . Vi skriver

\[v(t) = |\mathbf{v}(t)| .\]

Videre er partikkelens akselerasjon ved tid \(t\) gitt ved

\[\mathbf{a}(t) = \frac{d}{dt} \mathbf{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \mathbf{r}(t). \]

Kurven \(\mathcal{C}\) parametrisert ved \(\mathbf{r}\) er glatt i alle punkter hvor hastighetsvektoren \(\mathbf{v}(t)\) er veldefinert og ulik null. I punkter hvor \(\mathbf{v}(t) = 0\) trenger ikke kurven være glatt selv om \(\mathbf{r}(t)\) er komponentvis glatt, det vil si selv om

\[\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)), \]

der \(x\), \(y\) og \(z\) er glatte funksjoner.