Parametrisering av skjæringskurve

Vi vil finne en parametrisering for den delen av skjæringskurven mellom sylinderen \(x^2+4z^2=1\) og flaten \(z+x^2+y^2= 17/16\) som oppfyller \(y\geq 0.\)

Løsning

Den elliptiske sylinderflaten \(x^2+4z^2=1\) kan parametriseres ved

\[x(t) = \cos t , \quad z(t) = \frac{1}{2}\sin t , \quad 0 \leq t \leq 2\pi .\]

Setter vi denne parametriseringen inn for \(x\) og \(z\) i ligningen \(z+x^2+y^2=17/16\), finner vi at

\[y^2 = \frac{17}{16}-x^2-z = \frac{17}{16}-\cos^2 t- \frac{1}{2} \sin t .\]

Ved å bruke at \(\cos^2 t= 1-\sin^2 t\) kan vi skrive om dette uttrykket som

\[y^2=\frac{1}{16}-\frac{1}{2}\sin t+ \sin^2= \left( \sin t - \frac{1}{4}\right)^2.\]

Da vi kun er interessert i den delen av skjæringskurven hvor \(y\geq 0\) følger det at

\[y(t) = \left| \sin t - \frac{1}{4} \right|.\]

Dermed er én mulig parametrisering av skjæringskurven gitt ved

\[\mathbf{r}(t) = \left( \cos t, \left| \sin t - \frac{1}{4} \right|, \frac{1}{2}\sin t \right),\]

der \(0\leq t \leq 2\pi .\)