Vektorvaluerte funksjoner av én variabel

En vektorvaluert funksjon \(\mathbf{r}\) av én variabel er en funksjon som for enhver \(t\) i et intervall på tallinja returnerer en vektor \(\mathbf{r}(t)\) i \(\mathbb{R}^n.\) Dersom vi kun betrakter tilfellene \(n=2\) og \(n=3\) kan vi tenke på slike funksjoner som parametriseringer av kurver i planet eller rommet. I dette kapittelet skal vi se på kontinuitet og deriverbarhet av vektorvaluerte funksjoner. Vi innfører videre begrepene enhetstangent, enhetsnormal og krumning for geometrisk å kunne beskrive kurven som funksjonen \(\mathbf{r}\) parametriserer.

Vektorvaluerte funksjoner av én variabel

La \(\mathbf{r} : I \rightarrow \mathbb{R}^3\) være en vektorfunksjon på intervallet \(I \subseteq \mathbb{R}.\) Vi skriver gjerne

\[\mathbf{r}(t) = \left( x(t), y(t), z(t)\right).\]

Funksjonen \(\mathbf{r}\) er kontinuerlig dersom \(x\), \(y\) og \(z\) alle er kontinuerlige funksjoner av \(t\) på intervallet \(I\). Vi sier at \(\mathbf{r}\) er deriverbar i et punkt \(t\) dersom grenseverdien

\[\frac{d}{dt} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}\]

eksisterer. Den deriverte \(\mathbf{r}'(t)\) er en tangentvektor til kurven parametrisert ved \(\mathbf{r}\) i punktet \(\mathbf{r}(t)\).

Figur 1: Den deriverte \(\mathbf{r}'(t)\) en en tangentvektor til kurven \(\mathcal{C}\) (parametrisert ved \(\mathcal{r}\)) i punktet \(\mathbf{r}(t).\)

Kurver og parametriseringer

Vi betrakter nå kurven \(\mathcal{C}\) i rommet parametrisert ved

\[\mathbf{r}(t) = \left( x(t), y(t), z(t) \right), \quad a \leq t \leq b.\]

Denne parametriseringen er ikke unik; en gitt kurve kan parametriseres på uendelig mange ulike måter.