Iterert integrasjon

Iterert integrasjon er en teknikk for å evaluere dobbeltintegraler $\iint_D f(x,y) \, dA$ over såkalt enkle integrasjonsområder $D$.

$x$-enkle og $y$-enkle områder

Et område $D\subset \mathbb{R}^2$ er $y$-enkelt dersom

$$D = \left\{ (x,y) \, : \, a \leq x \leq b , \, c(x) \leq y \leq d(x) \right\} ,$$

der $c$ og $d$ er kontinuerlige funksjoner og $c(x) \leq d(x)$ for alle $x\in [a,b]$.

På tilsvarende vis er $D\subset \mathbb{R}^2$ et $x$-enkelt område dersom

$$D=\left\{ (x,y) \, : \, c \leq y \leq d , \, a(y) \leq x \leq b(y) \right\},$$

der $a$ og $b$ er kontinuerlige funksjoner og $a(y) \leq b(y)$ for alle $y \in [c,d]$.

Når området vi ønsker å integrere en funksjon over er $x$- eller $y$-enkelt kan vi bruke iterert integrasjon.

Dette teoremet forteller oss at under gitte betingelser på integrasjonsområdet $D$ kan vi evaluere dobbeltintegralet $\iint_D f(x,y) \, dA$ ved å løse to énvariabelintegraler.

Dersom integrasjonsområdet $D$ er både $x$- og $y$-enkelt kan vi velge hvilken iterert rekkefølge vi ønsker å integrere i. Noen ganger kan én bestemt rekkefølge være å foretrekke; den andre rekkefølgen kan være vanskelig eller umulig å integrere i. Dette er illustrert i eksempelet Valg av integrasjonsrekkefølge.