Iterert integrasjon

Iterert integrasjon er en teknikk for å evaluere dobbeltintegraler \(\iint_D f(x,y) \, dA\) over såkalt enkle integrasjonsområder \(D\).

\(x\)-enkle og \(y\)-enkle områder

Et område \(D\subset \mathbb{R}^2\) er \(y\)-enkelt dersom

\[D = \left\{ (x,y) \, : \, a \leq x \leq b , \, c(x) \leq y \leq d(x) \right\} ,\]

der \(c\) og \(d\) er kontinuerlige funksjoner og \(c(x) \leq d(x)\) for alle \(x\in [a,b]\).

På tilsvarende vis er \(D\subset \mathbb{R}^2\) et \(x\)-enkelt område dersom

\[D=\left\{ (x,y) \, : \, c \leq y \leq d , \, a(y) \leq x \leq b(y) \right\},\]

der \(a\) og \(b\) er kontinuerlige funksjoner og \(a(y) \leq b(y)\) for alle \(y \in [c,d]\).

Når området vi ønsker å integrere en funksjon over er \(x\)- eller \(y\)-enkelt kan vi bruke iterert integrasjon.

Dette teoremet forteller oss at under gitte betingelser på integrasjonsområdet \(D\) kan vi evaluere dobbeltintegralet \(\iint_D f(x,y) \, dA\) ved å løse to énvariabelintegraler.

Dersom integrasjonsområdet \(D\) er både \(x\)- og \(y\)-enkelt kan vi velge hvilken iterert rekkefølge vi ønsker å integrere i. Noen ganger kan én bestemt rekkefølge være å foretrekke; den andre rekkefølgen kan være vanskelig eller umulig å integrere i. Dette er illustrert i eksempelet Valg av integrasjonsrekkefølge.