Linearisering og deriverbarhet
Linearisering
Lineariseringen av \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) i punktet \( \textbf{a} \in D_f\) er
\[ \begin{align} L(\textbf{x}) &= f(\textbf{a}) + f_{x_1}(\textbf{a})(x_1-a_1) \\ &\quad +f_{x_2}(\textbf{a})(x_2-a_2)+ \cdots + f_{x_n}(\textbf{a})(x_n-a_n). \end{align} \]
Deriverbarhet
La \(f\) være en funksjon og la \( \textbf{a} \in D_f\) være et indre punkt, ikke på randen av \(D_f\). Vi sier at \(f\) er deriverbar i \(a\) dersom
$$\lim_{|\mathbf{r}| \rightarrow 0} \frac{f(\textbf{a} + \textbf{r}) - L(\textbf{a} + \textbf{r} )}{|\textbf{r}|}=0,$$
der \(L\) er lineariseringen av \(f\) i punktet \(\textbf{a}\).
Merk at hvis \(f\) er deriverbar i punktet \(\textbf{a}\) så er \(f\) også kontinuerlig i \(\textbf{a}\), siden telleren i brøken over må gå mot null når \( \textbf{r} \rightarrow 0\).