Retningsderiverte

Gitt en funksjon \(f\) av \(n\) variable, et indre punkt \( \textbf{a} \in D_f\) og en retning \( \textbf{u} \in \mathbb{R}^n \) med lengde 1, er den retningsderiverte til \(f\) i punktet \( \textbf{a}\) og retningen \( \textbf{u} \) definert som

$$D_{\textbf{u}}f (\textbf{a}) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(\textbf{a} + h \textbf{u}) - f(\textbf{a}) }{h},$$

dersom denne grensen eksisterer.

La \( \theta \in (0, \pi)\) være vinkelen mellom vektorene \( \textbf{u}\) og \( \nabla f(\textbf{a})\). Ved egenskapene til prikkproduktet har vi at

$$ D_{\textbf{u}} f(\textbf{a})= \nabla f(\textbf{a}) \cdot \textbf{u}= |\nabla f(\textbf{a})|\cos{\theta} $$

siden \(|\textbf{u}|= 1\). Dette gir følgende egenskaper for retningene der \(f\) vokser eller minker raskest.

1. \(f\) øker mest når \(\theta= 0\), det vil si i retningen til gradienten.
2. \(f\) minker mest når \( \theta=\pi\), det vil si i retningen motsatt til gradienten.
3. Endringen til \(f\) er lik null når \( \theta=\frac{\pi}{2}\), det vil si når retningen står normalt på gradienten.