Buelengde og areal i kartesiske koordinater

La \( C\) være en glatt, parametrisert kurve gitt ved \( x= f(t), y=g(t), t \in [a,b].\) Buelengden \( s\) til kurven \(C\) er gitt ved

$$ s= \int_a^b \sqrt{ \left( f'(t) \right)^2 + \left( g'(t) \right)^2 } dt.$$

La \(C\) være parametrisert ved \(x=f(t), y=g(t), a\leq t\leq b\). Overflatearealet \(S\) som fremkommer ved å dreie \(C\) om \(x\)-aksen er gitt ved

$$ S = 2\pi \int_{a}^b |g(t)| \sqrt{\left( f'(t)\right)^2 + \left( g'(t) \right)^2 } dt.$$ Overflatearealet som fremkommer ved å dreie \(C\) om \(y-\)aksen er gitt ved $$S= 2\pi \int_{a}^b |f(t)| \sqrt{\left( f'(t)\right)^2 + \left( g'(t) \right)^2 } dt.$$

La \(C\) være den parametriserte kurven \(x=f(t), y=g(t), a\leq t \leq b\) og anta at \(f\) er deriverbar og \(g\) kontinuerlig på \( [a,b] \). La videre \(A\) være det arealet som er begrenset av \(C\), \(x-\)aksen og linjene \(x=f(a)\) og \(x=f(b)\). Da gjelder

• Hvis \(f'\geq 0\) og \(g\geq 0\) på \( [a,b]\), så er \(A= \int_{a}^b g(t) f'(t) dt. \)
• Hvis \(f'\geq 0\) og \(g\leq 0\) på \( [a,b]\), så er \(A= -\int_{a}^b g(t) f'(t) dt. \)
• Hvis \(f'\leq 0\) og \(g\geq 0\) på \( [a,b]\), så er \(A= -\int_{a}^b g(t) f'(t) dt. \)
• Hvis \(f'\leq 0\) og \(g\leq 0\) på \( [a,b]\), så er \(A= \int_{a}^b g(t) f'(t) dt. \)