Buelengde og areal i polarkoordinater

La \(C \) være kurven gitt ved \( r= f(\theta) \), \( \alpha \leq \theta \leq \beta \). Da er buelengden \( s \) til \(C \) gitt ved

$$ s= \int_\alpha^\beta \sqrt{ f(\theta)^2 + f'(\theta)^2 } d\theta.$$

Dette følger av den vanlige formelen for buelengde når vi bruker parametriseringen

\[ x= f(\theta) \cos \theta, \, y= f(\theta) \sin \theta, \, \alpha \leq \theta \leq \beta .\]

Området begrenset av den polare kurven gitt ved \(r=f(\theta) \) og aksene \( \theta= \alpha, \theta= \beta \) har areal

$$A= \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta f(\theta)^2 d\theta.$$