Polarkoordinater

En alternativ representasjon av et punkt i planet er gitt ved polarkoordinater. I figuren under uttrykker \(r\) avstanden fra origo til punktet \(P\), og polarvinkelen \(\theta\) uttrykker vinkelen som dannes mellom den positive \(x-\)aksen og den rette linjen fra origo til punktet \(P\). Vinkelen \(\theta\) måles mot klokka.

Både \(\theta\) og \(r\) kan være negative.

• Negativ \(\theta\) betyr at vi går med klokka.
• Negativ \(r\) betyr at vi går i motsatt retning, \( (-r,\theta) = ( r, \theta + \pi)\).
• En representasjon av polarkoordinater er ikke unik. For eksempel beskriver \[(1, \frac{\pi}{2}), \quad (1, \frac{\pi}{2} + 2k\pi), \quad (-1, \frac{3\pi}{2} + 2k \pi)\] alle det samme punktet.

Ligningene

$$ x= r\cos \theta, \quad y= r\sin \theta$$

gir et uttrykk for de kartesiske koordinatene \(x,y\) uttrykt ved de polare koordinatene \(r\) og \( \theta\).

Ligningene

$$r^2 = x^2 + y^2, \quad \tan \theta= \frac{y}{x}$$

gir et uttrykk for de polare koordinatene \( r, \theta\) uttrykt ved de kartesiske koordinatene \(x\) og \( y\).