Stigningstall
Stigningstall og glatte kurver
Tangent- og normallinje
La \( C \) være en kurve gitt ved parametriseringen \(x =f(t), y= g(t) \) der \(f'\) og \(g'\) er kontinuerlige og begge er ulik \(0\) i punktet \(t_0 \). Da er
\[ \begin{align} \begin{cases} x=f(t_0) + f'(t_0) (t-t_0) \\ y= g(t_0) +g'(t_0) (t-t_0) \end{cases} \quad \quad -\infty < t < \infty \end{align} \]
en parametrisering av tangentlinjen til \(C\) i punktet \( (f(t_0), g(t_0) ) \), og
\[ \begin{align} \begin{cases} x=f(t_0) + g'(t_0) (t-t_0) \\ y= g(t_0) -f'(t_0) (t-t_0) \end{cases} \quad \quad -\infty < t < \infty \end{align} \]
en parametrisering av normallinjen til \(C\) i punktet \(( f(t_0), g(t_0) )\).
Krumning
La \(C\) være en kurve gitt ved parametriseringen \(x =f(t), y= g(t) \). På et intervall hvor \(f' \neq 0\) er krumningen til \(C\) i punktet \(t_0\) gitt ved $$ \frac{d^2 y}{dx^2 } = \frac{f'(t_0) g''(t_0) - g'(t_0) f''(t_0)}{\left( f'(t_0)\right)^3}.$$