Trippelintegraler og anvendelser
Vi så i kapittelet om dobbeltintegraler at det bestemte integralet for énvariabelfunksjoner har en naturlig utvidelse til funksjoner av to variable. På samme måte kan vi integrere funksjoner av tre og flere variable. Vi skal her se på integraler over områder i rommet, såkalte trippelintegraler, og anvendelser av disse. I den sammenheng er det naturlig å introdusere sylinderkoordinater og sfæriske koordinater; to sentrale koordinatsystemer for punkter i rommet.
Det bestemte trippelintegralet
La \(f=f(x,y,z)\) være en funksjon av tre variable definert i en rektangulær boks \(B=[x_0,x_1]\times [y_0, y_1] \times [z_0, z_1].\) Vi kan definere integralet av \(f\) over \(B,\)
\[\iiint_B f(x,y,z) \, dV = \iiint_B f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz ,\]
som en grense av Riemann-summer, der partisjonene av \(B\) består av små, rektangulære bokser med sideflater parallelle med koordinatplanene. For en detaljert gjennomgang av denne definisjonen, les kapittelet om dobbeltintegraler. På tilsvarende vis som for funksjoner av to variable, kan vi definere integralet av \(f\) over en generell lukket og begrenset definisjonsmengde \(D_f \subset B\) ved å la
\[\widehat{f}(x,y,z) = \begin{cases} f(x,y,z), &(x,y,z) \in D_f \\ 0, &(x,y,z) \in R \setminus D \end{cases} ,\]
og så sette
\[\iiint_{D_f} f(x,y,z) \, dV = \iiint_B \widehat{f}(x,y,z) \, dV. \]
De fleste egenskaper som gjelder for dobbeltintegraler (se Egenskaper ved dobbeltintegralet) gjelder i en utvidet forstand også for trippelintegraler. For eksempel vil integralet av konstantfunksjonen \(f(x,y,z)=1\) over et lukket og begrenset område \(D\) i rommet være lik volumet av området,
\[\iiint_D \, dV = \text{volum}(D) .\]
Akkurat som for dobbeltintegraler kan også trippelintegraler løses ved iterert integrasjon. Ett eksempel er gitt her. Noen ganger kan det være hensiktsmessig å først gjøre et variabelskifte til sylinderkoordinater eller kulekoordinater.