Parametrisering av skjæringskurver

Det er ikke uvanlig å beskrive en kurve som skjæringskurven mellom to flater i rommet. La oss se et eksempel på hvordan denne geometriske beskrivelsen kan brukes til å finne en parameterfremstilling av følgende kurve.

La \(\mathcal{C}\) være skjæringskurven mellom sylinderen \(x^2+(y-1)^2 = 1\) og kjeglen \(z=\sqrt{x^2+y^2}.\) Én mulig parametrisering av sylinderflaten er

\[x(t) =\cos t, \quad y(t)=\sin t+1, \quad 0 \leq t \leq 2\pi .\]

Denne parametriseringen kan så settes inn for \(x\) og \(y\) i kjegleligningen \(z=\sqrt{x^2+y^2}.\) Vi får da

\[z(t) = \sqrt{x^2(t)+y^2(t)} = \sqrt{2+2\sin t} .\]

Én mulig parameterfremstilling av \(\mathcal{C}\) er altså gitt ved

\[\mathbf{r}(t) = \left( \cos t, \sin t +1, \sqrt{2+2\sin t} \right), \]

der \(0 \leq t \leq 2\pi.\)