Variabelskifte i dobbeltintegral

Når vi skal evaluere et dobbeltintegral \(\iint_{D} f(x,y) \, dA\) kan det noen ganger lønne seg å gjøre et variabelskifte i integralet fra \(x\) og \(y\) til \(u\) og \(v\), der \(x\) og \(y\) uttrykkes som funksjoner av \(u\) og \(v\),

Vi sier at \(T(u,v) = (x(u,v), y(u,v))\) er en koordinattransformasjon fra \(uv\)- til \(xy\)-planet. Et variabelskifte kan transformere integrasjonsområdet \(D\) til et (geometrisk) enklere område i \(uv\)-planet, eller det kan forenkle integranden \(f(x,y) = f(T(u,v)).\) Et spesielt nyttig og mye brukt variabelskifte er byttet fra kartesiske koordinater \((x,y)\) til polarkoordinater \((r, \theta)\), gitt ved

\[T(r, \theta) = \left( r \cos \theta, r \sin \theta \right) .\]

Dette spesialtilfellet kan du lese mer om her.

Når vi skal gjøre et variabelskifte i et dobbeltintegral, er entydighet viktig; vi må vite at vi ved transformasjonen fra ett koordinatplan til et annet fortsatt integrerer over det samme området, og at vi ikke integrerer over deler av området gjentatte ganger.

Jacobi-determinanten beskriver foholdet mellom arealelementet \(dA\) i \(xy\)-planet og \(uv\)-planet. Løst formulert kan vi si at

\[dA = dx \, dy = |J(u,v)| \, du \, dv .\]

Det kan være nyttig å vite at dersom \(x(u,v)\) og \(y(u,v)\) i kooordinattransformasjonen \(T : S \to D\) har kontinuerlige første ordens partiellderiverte i \(S,\) og hvis \(J(u,v) \neq 0\) for \(u,v \in S,\) så vil også inverstransformasjonen \(T^{-1}\) ha kontinuerlige første ordens partiellderiverte i \(D,\) og

\[J(u,v) = \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \frac{1}{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}} = \frac{1}{J'},\]

der \(J'\) er Jacobi-determinanten til inverstransformasjonen \(T^{-1}\). I praktiske regneeksempler kan det noen ganger være enklere å finne \(J\) som \(1/J'\) enn å regne ut \(J\) direkte.