Flater og flateintegral

Uformelt er en flate et 2-dimensjonalt objekt \(\mathcal{S}\) i rommet (eller mer generelt i \(\mathbb{R}^n\)). En parametrisert flate er en flate \(\mathcal{S}\) utstyrt med en parametrisering \(\mathbf{r} \colon R \to \mathcal{S}\) der \(R \subseteq \mathbb{R}^2 \) er lukket, begrenset og sammenhengende og funksjonen \(\mathbf{r}\) er kontinuerlig og én-én-tydig.

(For å regne ut integraler kan det være praktisk å også tillate parametriseringer som bare er én-én-tydige borte fra et område med areal 0, siden dette ikke påvirker verdien av integralet.)

En glatt flate er en flate som har et entydig og kontinuerlig varierende tangentplan i alle punkter som ikke er på randen. Hvis flaten er parametrisert ved funksjonen \(\mathbf{r}(u,v)\) betyr dette at \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\) og \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\) eksisterer og er kontinuerlige, og at de ikke er parallelle (eller \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \neq \mathbf{0}\)) for alle punkter i det indre av \(R\).

La \(\mathcal{S}\) være en glatt flate, parametrisert ved \(\mathbf{r} \colon R \to \mathbb{R}^3\). Vi ønsker å finne arealet av \(\mathcal{S}\) som et integral over \(R\). For små \(\Delta u, \Delta v\) er bildet under \(\mathbf{r}\) av et rektangel med sidelengder \(\Delta u, \Delta v\) fra hjørnet \((u,v)\) godt tilnærmet ved et parallellogram med sider gitt av vektorene \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \Delta u\) og \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \Delta v\):

Arealet av området på \(\mathcal{S}\) som er bildet av rektangelet er dermed godt tilnærmet ved arealet av dette parallellogrammet, som hvis \(\theta\) er vinkelen mellom de to vektorene er

\[ \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\right| \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right| \Delta u\, \Delta v \sin \theta = \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right| \Delta u \, \Delta v. \]

Lar vi \(\Delta u\) og \(\Delta v\) gå mot 0 (og mer formelt ved å bruke Riemann-summer) får vi

\[ \mathrm{areal}(\mathcal{S}) = \iint_{R} \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv = \iint_{\mathcal{S}} dS, \]

der

\[ dS := \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv\]

er arealelementet for \(\mathcal{S}\).

La \(\mathcal{S}\) være en glatt flate, parametrisert ved \(\mathbf{r} \colon R \to \mathbb{R}^3\). Da er flateintegralet av en funksjon \(f \colon \mathcal{S} \to \mathbb{R}\) definert som

\[ \iint_{\mathcal{S}} f(x,y,z) dS := \iint_{R} f(\mathbf{r}(u,v)) \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv. \]

Flateintegralet er uavhengig av valg av parametrisering, og er definert så lenge flaten er glatt borte fra et område med areal 0 (siden dette ikke påvirker integralet).