Flater og flateintegral

Uformelt er en flate et 2-dimensjonalt objekt $\mathcal{S}$ i rommet (eller mer generelt i $\mathbb{R}^n$). En parametrisert flate er en flate $\mathcal{S}$ utstyrt med en parametrisering $\mathbf{r} \colon R \to \mathcal{S}$ der $R \subseteq \mathbb{R}^2$ er lukket, begrenset og sammenhengende og funksjonen $\mathbf{r}$ er kontinuerlig og én-én-tydig.

(For å regne ut integraler kan det være praktisk å også tillate parametriseringer som bare er én-én-tydige borte fra et område med areal 0, siden dette ikke påvirker verdien av integralet.)

En glatt flate er en flate som har et entydig og kontinuerlig varierende tangentplan i alle punkter som ikke er på randen. Hvis flaten er parametrisert ved funksjonen $\mathbf{r}(u,v)$ betyr dette at $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ og $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ eksisterer og er kontinuerlige, og at de ikke er parallelle (eller $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \neq \mathbf{0}$) for alle punkter i det indre av $R$.

La $\mathcal{S}$ være en glatt flate, parametrisert ved $\mathbf{r} \colon R \to \mathbb{R}^3$. Vi ønsker å finne arealet av $\mathcal{S}$ som et integral over $R$. For små $\Delta u, \Delta v$ er bildet under $\mathbf{r}$ av et rektangel med sidelengder $\Delta u, \Delta v$ fra hjørnet $(u,v)$ godt tilnærmet ved et parallellogram med sider gitt av vektorene $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \Delta u$ og $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \Delta v$:

Arealet av området på $\mathcal{S}$ som er bildet av rektangelet er dermed godt tilnærmet ved arealet av dette parallellogrammet, som hvis $\theta$ er vinkelen mellom de to vektorene er

$$\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\right| \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right| \Delta u\, \Delta v \sin \theta = \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right| \Delta u \, \Delta v.$$

Lar vi $\Delta u$ og $\Delta v$ gå mot 0 (og mer formelt ved å bruke Riemann-summer) får vi

$$\mathrm{areal}(\mathcal{S}) = \iint_{R} \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv = \iint_{\mathcal{S}} dS,$$

der

$$dS := \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv$$

er arealelementet for $\mathcal{S}$.

La $\mathcal{S}$ være en glatt flate, parametrisert ved $\mathbf{r} \colon R \to \mathbb{R}^3$. Da er flateintegralet av en funksjon $f \colon \mathcal{S} \to \mathbb{R}$ definert som

$$\iint_{\mathcal{S}} f(x,y,z) dS := \iint_{R} f(\mathbf{r}(u,v)) \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv.$$

Flateintegralet er uavhengig av valg av parametrisering, og er definert så lenge flaten er glatt borte fra et område med areal 0 (siden dette ikke påvirker integralet).