Klassifisering av kritiske punkter
Et kritisk punkt for en funksjon \(f=f(x,y)\) med definisjonsmengde \(D_f \subseteq \mathbb{R}^2\) er et punkt \((a,b) \in D_f \) hvor
\[\nabla f(a,b) = \mathbf{0} .\]
Dette kan være et maksimumspunkt eller minimumspunkt for funksjonen, men det kan også være et såkalt sadelpunkt. I dette delkapittelet ser vi på hvordan vi klassifiserer kritiske punkter.
Sadelpunkter
Et sadelpunkt for en funksjon \(f\) er definert som et indre kritisk punkt i definisjonsmengden \(D_f\) som verken er et lokal minimums- eller maksimumspunkt. Et eksempel i to dimensjoner er funksjonen \(f(x,y)=y^2-x^2\), som har et sadelpunkt i origo. Vi ser at
\[\nabla f (0,0) = (0,0) \quad \text{og} \quad f(0,0)=0,\]
men \(f(x,0)<0\) og \(f(0,y)>0\) for alle \(x,y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Altså kan ikke origo være et ekstremalverdipunkt. Grafen til \(f\) er skissert under.
Annenderiverttesten
Når vi skal klassifisere et kritisk punkt \((a,b)\) for en funksjon \(f=f(x,y)\), er én mulighet å direkte sammenligne \(f(a,b)\) med verdien av \(f\) i nærheten av punktet \((a,b)\). Dette kan imidlertid være vanskelig, og et alternativ kan være å bruke annenderiverttesten for funksjoner av to variable.